项目github地址：bitcarmanlee easy-algorithm-interview-and-practice 经常有同学私信或留言询问相关问题，V号bitcarmanlee。github上star的同学，在我能力与时间允许范围内，尽可能帮大家解答相关问题，一起进步。
1.softmax初探
在机器学习尤其是深度学习中，softmax是个非常常用而且比较重要的函数，尤其在多分类的场景中使用广泛。他把一些输入映射为0-1之间的实数，并且归一化保证和为1，因此多分类的概率之和也刚好为1。 首先我们简单来看看softmax是什么意思。顾名思义，softmax由两个单词组成，其中一个是max。对于max我们都很熟悉，比如有两个变量a,b。如果a>b，则max为a，反之为b。用伪码简单描述一下就是 if a > b return a; else b。 另外一个单词为soft。max存在的一个问题是什么呢？如果将max看成一个分类问题，就是非黑即白，最后的输出是一个确定的变量。更多的时候，我们希望输出的是取到某个分类的概率，或者说，我们希望分值大的那一项被经常取到，而分值较小的那一项也有一定的概率偶尔被取到，所以我们就应用到了soft的概念，即最后的输出是每个分类被取到的概率。
2.softmax的定义
首先给一个图，这个图比较清晰地告诉大家softmax是怎么计算的。 (图片来自网络)
假设有一个数组V，
V
i
V_i
Vi表示V中的第i个元素，那么这个元素的softmax值为:
S
i
=
e
i
∑
j
e
j
S_i = \frac{e^i}{\sum_j e^j}
Si=∑jejei 该元素的softmax值，就是该元素的指数与所有元素指数和的比值。
这个定义可以说很简单，也很直观。那为什么要定义成这个形式呢？原因主要如下。 1.softmax设计的初衷，是希望特征对概率的影响是乘性的。 2.多类分类问题的目标函数常常选为cross-entropy。即
L
=
−
∑
k
t
k
⋅
l
n
P
(
y
=
k
)
L = -\sum_k t_k \cdot lnP(y=k)
L=−∑ktk⋅lnP(y=k)，其中目标类的
t
k
t_k
tk为1，其余类的
t
k
t_k
tk为0。 在神经网络模型中(最简单的logistic regression也可看成没有隐含层的神经网络)，输出层第i个神经元的输入为
a
i
=
∑
d
w
i
d
x
d
a_i = \sum_d w_{id} x_d
ai=∑dwidxd。 神经网络是用error back-propagation训练的，这个过程中有一个关键的量是
∂
L
/
∂
α
i
\partial L / \partial \alpha_i
∂L/∂αi。后面我们会进行详细推导。
3.softmax求导
前面提到，在多分类问题中，我们经常使用交叉熵作为损失函数
L
o
s
s
=
−
∑
i
t
i
l
n
y
i
Loss = - \sum_i t_i lny_i
Loss=−i∑tilnyi 其中，
t
i
t_i
ti表示真实值，
y
i
y_i
yi表示求出的softmax值。当预测第i个时，可以认为
t
i
=
1
t_i = 1
ti=1。此时损失函数变成了:
L
o
s
s
i
=
−
l
n
y
i
Loss_i = -lny_i
Lossi=−lnyi 接下来对Loss求导。根据定义：
y
i
=
e
i
∑
j
e
j
y_i = \frac{e^i}{\sum_j e^j}
yi=∑jejei 我们已经将数值映射到了0-1之间，并且和为1，则有：
e
i
∑
j
e
j
=
1
−
∑
j
≠
i
e
j
∑
j
e
j
\frac{e^i}{\sum_j e^j} = 1 - \frac{\sum_{j \neq i} e^j}{\sum_j e^j}
∑jejei=1−∑jej∑j=iej
接下来开始求导
∂
L
o
s
s
i
∂
i
=
−
∂
l
n
y
i
∂
i
=
∂
(
−
l
n
e
i
∑
j
e
j
)
∂
i
=
−
1
e
i
∑
j
e
j
⋅
∂
(
e
i
∑
j
e
j
)
∂
i
=
−
∑
j
e
j
e
i
⋅
∂
(
1
−
∑
j
≠
i
e
j
∑
j
e
j
)
∂
i
=
−
∑
j
e
j
e
i
⋅
(
−
∑
j
≠
i
e
j
)
⋅
∂
(
1
∑
j
e
j
)
∂
i
=
∑
j
e
j
⋅
∑
j
≠
i
e
j
e
i
⋅
−
e
i
(
∑
j
e
j
)
2
=
−
∑
j
≠
i
e
j
∑
j
e
j
=
−
(
1
−
e
i
∑
j
e
j
)
=
y
i
−
1
{\begin{aligned} \frac{\partial Loss_i}{\partial _i} & = - \frac{\partial ln y_i}{\partial _i} \\ & = \frac{\partial (-ln \frac{e^i}{\sum_j e^j}) }{\partial _i} \\ & = - \frac {1}{ \frac{e^i}{\sum_j e^j}} \cdot \frac{\partial (\frac{e^i}{\sum_j e^j})}{ \partial_i} \\ & = -\frac{\sum_j e^j}{e^i} \cdot \frac{\partial (1 - \frac{\sum_{j \neq i} e^j}{\sum_j e^j}) } {\partial_i} \\ & = -\frac{\sum_j e^j}{e^i} \cdot (- \sum _ {j \neq i}e^j ) \cdot \frac{\partial( \frac {1} {\sum_j e^j} ) } { \partial _i} \\ &= \frac { \sum_j e^j \cdot \sum_{j \neq i} e^j} {e^i } \cdot \frac { - e^i} { (\sum_j e^j) ^ 2} \\ & = -\frac { \sum_{j \neq i} e^j } { \sum_j e^j } \\ & = -(1 - \frac{ e ^ i } { \sum_j e^j } ) \\ & = y_i - 1 \end{aligned}}
∂i∂Lossi=−∂i∂lnyi=∂i∂(−ln∑jejei)=−∑jejei1⋅∂i∂(∑jejei)=−ei∑jej⋅∂i∂(1−∑jej∑j=iej)=−ei∑jej⋅(−j=i∑ej)⋅∂i∂(∑jej1)=ei∑jej⋅∑j=iej⋅(∑jej)2−ei=−∑jej∑j=iej=−(1−∑jejei)=yi−1
上面的结果表示，我们只需要正想求出
y
i
y_i
yi，将结果减1就是反向更新的梯度，导数的计算是不是非常简单！
上面的推导过程会稍微麻烦一些，特意整理了一下，结合交叉熵损失函数，整理了一篇新的内容，看起来更直观一些。 交叉熵损失函数(Cross Entropy Error Function)与均方差损失函数(Mean Squared Error)
4.softmax VS k个二元分类器
如果你在开发一个音乐分类的应用，需要对k种类型的音乐进行识别，那么是选择使用 softmax 分类器呢，还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢？ 这一选择取决于你的类别之间是否互斥，例如，如果你有四个类别的音乐，分别为：古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐，那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签（即：一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种），此时你应该使用类别数 k = 4 的softmax回归。（如果在你的数据集中，有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类，那么你可以添加一个“其他类”，并将类别数 k 设为5。） 如果你的四个类别如下：人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲，那么这些类别之间并不是互斥的。例如：一首歌曲可以来源于影视原声，同时也包含人声 。这种情况下，使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样，对于每个新的音乐作品 ，我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。 现在我们来看一个计算视觉领域的例子，你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是：室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢？ (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片，你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢？ 在第一个例子中，三个类别是互斥的，因此更适于选择softmax回归分类器 。而在第二个例子中，建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。
参考文献： 1.https://www.zhihu.com/question/40403377 2.http://deeplearning.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax回归