例 3
考虑函数 $f(z)= \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} z^2}$ 在 $x$ 轴上的积分，即 $\int^\infty_{-\infty} f(x) \,\mathrm{d}{x} $。
设 $\Gamma_1$ 为实数轴上从 $0$ 到 $\rho$ 的路径，$\Gamma_2$ 为从 $\rho$ 到 $ \mathrm{e} ^{\pi \mathrm{i} /4}$ 的八分之一圆弧路径，$\Gamma_3$ 为上述圆弧半径上从 $ \mathrm{e} ^{\pi \mathrm{i} /4}$ 到 $0$ 的路径。于是有
\begin{equation}
\int^\rho_{0} f(x) \,\mathrm{d}{x} = \int_{\Gamma_1}f(z) \,\mathrm{d}{z} ~.
\end{equation}
图 1：例 3 的积分路径。
由于 $f(z)$ 在整个复平面上都没有极点，因此据定理 2 ，
\begin{equation}
\sum_{i=1, 2, 3}\int_{\Gamma_i} f(z) \,\mathrm{d}{z} = 0~.
\end{equation}
由于 $f(x)$ 作为实函数是偶函数，故 $\int^\infty_{-\infty} f(x) \,\mathrm{d}{x} =2\int^\infty_0 f(x) \,\mathrm{d}{x} $。于是我们可以根据 $f(z)$ 在 $\Gamma_2$ 和 $\Gamma_3$ 上的围道积分计算出式 1 ，再取 $\rho\to\infty$ 的极限得到所求。
先计算 $f(z)$ 沿着 $\Gamma_2$ 的积分：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\int_{\Gamma_2} f(z) \,\mathrm{d}{z} &= \int_0^{\pi/4} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \rho^2 \mathrm{e} ^{2 \mathrm{i} t}}\cdot \mathrm{i} \rho \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} t} \,\mathrm{d}{t} \\
&= \mathrm{i} \rho \cdot (-\frac{1}{2\rho^2}) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \rho^2 \mathrm{e} ^{2 \mathrm{i} t}}\mid^{t=\pi/4}_{t=0}\\
&= -\frac{ \mathrm{i} }{2\rho} \left( \mathrm{e} ^{-\rho^2}- \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \rho^2} \right) ~,
\end{aligned}
\end{equation}
于是显然可知，
\begin{equation}
\lim_{\rho\to+\infty}\int_{\Gamma_2} f(z) \,\mathrm{d}{z} = 0~.
\end{equation}
再计算 $f(z)$ 沿着 $\Gamma_3$ 的积分：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\int_{\Gamma_3} f(z) \,\mathrm{d}{z} &= \int^0_\rho \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}t+\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{i} t \right) ^2} \cdot \frac{\mathrm{d} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}t+\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{i} t \right) }{ \,\mathrm{d}{t} } \,\mathrm{d}{t} \\
&= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{i} \right) \cdot \int^0_\rho \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}t+\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{i} t \right) ^2} \cdot \,\mathrm{d}{t} \\
&= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{i} \right) \cdot \int^0_\rho \mathrm{e} ^{-t^2} \cdot \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
由高斯积分的式 5 ，可知
\begin{equation}
\lim_{\rho\to+\infty}\int_{\Gamma_3} f(z) \,\mathrm{d}{z} = \left(\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4} \mathrm{i} \right) \sqrt{\pi}=\sqrt{\frac{\pi}{8}} \left(1+ \mathrm{i} \right) ~.
\end{equation}
$\Gamma_2$ 和 $\Gamma_3$ 的积分得到了，就可以进行最后的计算：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\int^\infty_{-\infty} f(x) &= 2\int^\infty_0 f(x) \,\mathrm{d}{x} \\
&=-2\lim_{\rho\to +\infty} \left[\int_{\Gamma_2} f(z) \,\mathrm{d}{z} + \int_{\Gamma_3} f(z) \,\mathrm{d}{z} \right] \\
&= -2\cdot \sqrt{\frac{\pi}{8}} \left(1+ \mathrm{i} \right) \\
&=\sqrt{\frac{\pi}{2}}(1+ \mathrm{i} )~.
\end{aligned}
\end{equation}
注意到 $\sqrt{ \mathrm{i} }=\sqrt{\frac{1}{2}}(1+ \mathrm{i} )$，式 13 也可写为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\int^\infty_{-\infty} f(x) &= \sqrt{\frac{\pi}{- \mathrm{i} }}~.
\end{aligned}
\end{equation}
这和高斯积分的式 6 相符。
类似地可证
\begin{equation}
\int^\infty_{-\infty} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} x^2} \,\mathrm{d}{x} = \sqrt{\frac{\pi}{2}}(1- \mathrm{i} )~.
\end{equation}